Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{{x^3} - 1}}{{2 + x}}\) đạt giá trị nguyên.

Đáp án: \(0,75\)

Điều kiện xác định: \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

Ta có: \(E = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{{x^3} - 1}}{{2 + x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {x^2} + x + 1.\)

Lại có: \({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.\)

Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1\) nên \(E \ge \frac{3}{4} = 0,75\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x + \frac{1}{2} = 0\) suy ra \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) bằng \(0,75\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)