Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x\) có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = x.

a) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{2}{3}\).

b) Hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 có diện tích bằng \(\frac{4}{3}\).

c) Hình phẳng giới hạn bởi (C) và d có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).

d) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Khối tròn xoay thu được khi cho (H) quay quanh trục hoành có thể tích bằng \(\frac{{8\pi }}{{15}}\).

Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục Ox (làm tròn đến hàng phần trăm).

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình vẽ bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm), (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính \(\left( {10 + \sqrt x } \right)\) (cm). Tính dung tích của chậu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm³).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Biết diện tích phần tam giác cong OAB trong hình vẽ bên có diện tích là \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản.

Tính hiệu \(b - a\).

Cho \({S_1},{S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình.

a) Phương trình đường thẳng d là \(y = x\).

b) Phương trình \(\left( P \right):y = - {x^2} - 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \).

d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{38}}\).

Hình bên dưới minh họa mặt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \(y = f\left( x \right) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\). Biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, diện tích mặt cắt đứng của mức nước trong con kênh là một phân số tối giản có dạng \(\frac{a}{b}\) m², trong đó \(a,b \in \mathbb{N}*\). Tìm a.