Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tồn tại một mặt phẳng duy nhất qua ba điểm này.

c) Ta có mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\).

d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;1;1} \right)\).

b) Phương trình mặt phẳng (ABC): \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow  - 2x + y + z = 0\).

Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n  =  - 2.1 - 1.1 + 1.2 =  - 1 \ne 0\) nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.