Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 5), C(2; 4; 2). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

A. 30°.

B. 120°.

C. 150°.

D. 60°.

Câu hỏi trong đề: 20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 16. Công thức tính góc trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Đường thẳng AB và AC lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra (AB, AC) = 60°.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1) cắt đường thẳng D₁ và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Tính tổng \(a + 2b - 3c\).

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có \(B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in {\Delta _1}\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2;2} \right)\).

Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có \(\sin \varphi = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\).

Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0.

Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vậy \(a = 2;b = 2;c = - 1 \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = 9\).

Trả lời: 9.

Câu 2

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Góc α giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)).

Ta có \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ \).

Trả lời: 11.

Câu 3