Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{2}\); \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + t\\z = 2 - mt\end{array} \right.\).

a) Khi m = 0, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 135°.

b) \(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = - \frac{1}{3}\).

c) Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P): 2x + 2y + z – 4 = 0 tạo với đường thẳng d₁ một góc α có \(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).

d) Khi \(m = \frac{a}{b},a,b \in \mathbb{Z},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 90°. Giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} = 13\).

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)

a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra (d1, d2) = 45°.

b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

\(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\).

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\),

Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.

Khi đó \(\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow  - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\).

Suy ra \(a =  - 3;b = 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 13\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.