Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P):y = 0,\;\;(Q):\sqrt 3 x - y - 2024 = 0.\) Xét các vectơ \({\vec n_1} = (0;\;1;\;0),\;\;{\vec n_2} = (\sqrt 3 ;\; - 1;\;0).\)

a) \({\vec n_1}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

b) \({\vec n_2}\) không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q).\)

c) \({\vec n_1}.{\vec n_2} = - 1.\)

d) Mặt phẳng \((R)\)đi qua điểm \(M(1;1;1)\) và vuông góc \((P),(Q)\)có phương trình là\(\sqrt 3 x + y - z - \sqrt 3 = 0.\)

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A(5;\;0;\;5)\) đến vị trí \(B(10;\;10;\;3)\) và hạ cánh tại vị trí \(M(a;\;b;\;0).\) Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?

Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right)\). Biết góc nâng của máy bay là \(\gamma = a^\circ \)(góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng độ). Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương \(ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \) có \(A(0;\;0;\;0),\;\;B(2;\;0;\;0),\) \(D(0;\;2;\;0),\;\;A\prime (0;\;0;\;2).\) Gọi \(M,\;\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA\prime \).

a) Toạ độ của điểm \(M\)là \((1;\;0;\;0).\)

b) Tọa độ của điểm \(N\)là \((0;\;1;\;0).\)

c) Phương trình mặt phẳng \((DMN)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\)

d) Khoảng cách từ điểm \(C\prime \) đến mặt phẳng \((DMN)\) bằng \(\frac{8}{3}.\)

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A(5;\;3;\;6),\;\;B(1;\;1;\;4),\;\;C(2;\;1;\;2)\) và \(D(0;\;0;\;4).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3) và đi qua điểm A(3; −2; 1). Gọi M(1; 2; c) là điểm thuộc mặt cầu (S) biết \(c \in {\mathbb{N}^*}\). Cao độ điểm M có giá trị bằng bao nhiêu?