Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.

Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.

Ta có phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).

Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận \(\overrightarrow {ID}  = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\).

Vì H Î ID \( \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\).

Mà H Î (S) nên \({\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx  \pm 0,78\).

Với \(t \approx  - 0,78\)\( \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( { - 3978; - 485,94;39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng.

Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Với \(t \approx 0,78\)\( \Rightarrow H\left( {3900;520,94;11} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( {3978;485,94; - 39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng.

Vậy H  thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm \(H\left( {3900;520,94;11} \right)\) có cao độ là 11.

Trả lời: 11.