Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành (như hình vẽ).

Hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) là hai đường thẳng.

a) \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {3.\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \pi = 0\).

b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 3x} \right) = - \tan 3x = - f\left( x \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

c) Điều kiện: \(\cos 3x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Do đó \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Có \(\tan 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(0 < x < \pi \) nên \(0 < \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3} < \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{4}\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;k = 1;k = 2\).

Từ đó ta có \(x = \frac{\pi }{{12}};x = \frac{{5\pi }}{{12}};x = \frac{{3\pi }}{4}\).

Do đó tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Các mặt kệ sách đặt song song với mặt đất nên là hình ảnh của các mặt phẳng song song nhau, ta kí hiệu các mặt phẳng từ đáy kệ sách lên trên lần lượt là \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\).

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(\frac{{FG}}{{BC}} = \frac{{GH}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{FG}}{{GH}} = \frac{{BC}}{{CD}}\).

Mà \(BC = CD\) nên \(\frac{{FG}}{{GH}} = 1 \Rightarrow FG = GH\).

Tương tự áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(EF = FG\).

Từ đó suy ra \(GH = FG = EF = 32\) cm.

Vậy \(HE = EF + FG + GH = 96\)cm.