Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ADN} \right)\)là 

Hình chóp \(S.ABCD\) mô tả khối chóp.

Cưa đi phần đỉnh của khối gỗ, lưỡi cưa đi qua các trung điểm của ba cạnh bên của khối gỗ nghĩa là cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua các điểm \(A',B',C'\) (\(A',B',C'\) là trung điểm của \(SA,SB,SC\)).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC,BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C',SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(D'\)là giao điểm của \(B'O',SD\).

Suy ra mặt phẳng cắt các mặt của hình chóp theo các giao tuyến là \(A'B',B'C',C'D',D'A'\).

Dây đèn trang trí được gắn vào các cạnh \(AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',AA',BB',CC',DD'\).

Dễ dàng chứng minh \(D'\) là trung điểm của SD.

Do đó \(A',B'\) là trung điểm của SA, SB nên \(A'B' = \frac{1}{2}AB = 0,25\) m.

Tương tự \(B'C' = C'D' = D'A' = 0,25\) m.

Do \(A',B',C',D'\)là trung điểm của \(SA,SB,SC,SD\)nên \(AA' = BB' = CC' = DD' = 0,25\) m.

Vậy \(AB + BC + CD + DA + A'B' + B'C' + C'D' + D'A' + AA' + BB' + CC' + DD' = 0,5.4 + 0,25.8 = 4\) m.

a) Ta có \(S\) và \(A\) là hai điểm chung của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) nên đường thẳng \(SA\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(C \notin \left( {SMP} \right)\) nên hai đường thẳng \(SC\)và \(MP\)không cùng nằm trong một mặt phẳng. Suy ra hai đường thẳng \(SC\) và \(MP\) chéo nhau.

c) Ta có N là điểm chung của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Mặt khác \(MP \subset \left( {MNP} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(MP//BD\) (do \(MP\)là đường trung bình của tam giác \(SBD\)).

Suy ra giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua N đồng thời song song với \(BD,MP\) cắt \(CD\) tại \(Q\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm \(AC\) và \(NQ\).

Từ giả thiết ta có ba mặt phẳng \(\left( {MNP} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,SC\) và \(IK\) trong đó \(MN//SC\) (do MN là đường trung bình của \(\Delta SBC\)).

Suy ra \(MN,SC\) và \(IK\) đôi một song song.

Xét \(\Delta SAC\) có \(IK//SC\) nên \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;  b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.