Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\] (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \[t\] (giờ) trong một ngày bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12\]. Mực nước của kênh cao nhất khi \[t\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi \[F = AB \cap CD\]. Nối \[F\] với \[M\], \[FM \cap SC = N\]. Khi đó, \[N\] là giao điểm của mặt phẳng \[\left( {ABM} \right)\] và đường thẳng \[SC\].

Theo giả thiết, ta có \[AD = 2BC\] và \[AD\parallel BC\] do đó \[BC\] là đường trung bình của tam giác \[FAD\].

Suy ra \[C\] là trung điểm của \[FD\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] kẻ \[CE\parallel NM,{\rm{ }}\left( {E \in SD} \right)\].

Do \[C\] là trung điểm \[FD\] nên suy ra \[E\] là trung điểm \[MD\] và \[M\] là trung điểm \[SE\].

Do \[MN\parallel CE\] và \[M\] là trung điểm \[SE\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SCE.\]

Từ đó suy ra \[N\] là trung điểm \[SC\] và \[\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2} = 0,5.\]

a) Ta có: \[I \in AD,\]\[AD \subset \left( {JAD} \right)\]\[ \Rightarrow I \in \left( {JAD} \right)\] \[ \Rightarrow IJ \subset \left( {JAD} \right);\]

               \[J \in BC,\] \[BC \subset \left( {IBC} \right)\] \[ \Rightarrow J \in \left( {IBC} \right)\]\[ \Rightarrow IJ \subset \left( {IBC} \right)\].

Vậy \[IJ = \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right).\]

b) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\\D \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow ND = \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right).\]

Vậy \[ND\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {NMD} \right),\left( {ADC} \right).\]

c) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\\I \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\end{array} \right.\].

Vậy \[BI\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {BIC} \right),\left( {ABD} \right).\]

d) Gọi \[E = DN \cap CI\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] và \[F = DM \cap BI\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {ABD} \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E \in DN,{\rm{ }}DN \subset \left( {DMN} \right)\\E \in IC,{\rm{ }}IC \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\] (1).

Tương tự: \[\left\{ \begin{array}{l}F \in DM,{\rm{ }}DM \subset \left( {DMN} \right)\\F \in IB,{\rm{ }}IB \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra \[EF = \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\]. Ta có \[EF\] cắt \[IJ.\]