Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\).

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm.

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và \(d = 3\).

c) Số \(179\) là số hạng thứ 60 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Biết \({S_n} = 5430\). Khi đó \(n = 59\).

Trả lời: 0,5

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K = AM \cap SO\).

Khi đó \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) lấy điểm \(N = BK \cap SD\). Khi đó \(N = SD \cap \left( {ABM} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Do đó \(\Delta SAC\) và \(\Delta SBD\) là các tam giác đều.

Mà \(K = AM \cap SO \Rightarrow K\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).

Suy ra \(K\) là trọng tâm \(\Delta SBD\) \( \Rightarrow BN\) là trung tuyến của \(\Delta SBD\) \( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(SD\).

Suy ra \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).

b) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \(x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

c)

- Với \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{13\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_1} = - \frac{\pi }{{12}}\)

- Với \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{17\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}}\).

d) Ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{2}\).