Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \[t\] (ở đây \[t\] là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

\[L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right],{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{Z},{\rm{ }}0 < t \le 365} \right).\]

a) Tập giá trị của hàm số \[L\left( t \right)\] là \[\left[ {9,17;14,83} \right].\]

b) Ngày thành phố A có ít ánh sáng mặt trời nhất tương ứng với \[\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1.\]

c) Ngày thành phố A có ít ánh sáng mặt trời nhất là vào ngày thứ 352 của năm.

d) Ngày thành phố A có nhiều ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 171, tức là khoảng ngày 20 tháng 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 14

Ta có: \[ - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] \[ \Leftrightarrow 9 \le 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12 \le 15\].

Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.

Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng \[15{\rm{ }}\left( m \right)\] khi

\[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow t = - 2 + 16k\], \[k \in \mathbb{Z}\].

Vì trong một ngày có 24 giờ nên \[0 \le - 2 + 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\]\[ \Rightarrow t = 14\]giờ.

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi \[t\] bằng \[14\] giờ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\{u_1}.\left( {{q^4} - {q^2}} \right) = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\\frac{{{q^4} - {q^2}}}{{{q^3} - q}} = 2\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\q = 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\].

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là \[{u_1} = 9.\]

b) Công bội của cấp số nhân là \[q = 2.\]

c) Ta có: \[{S_n} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{9.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\].

\[ \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599\] \[ \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511\] \[ \Leftrightarrow {2^n} = 512\] \[ \Leftrightarrow n = 9\].                                                                                               

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng \[4599\].

d) Ta có: \[{u_k} = 576\] \[ \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64\] \[ \Leftrightarrow k = 7.\]

Vậy số \[576\] là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.