Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\). Tính \(\frac{{MN}}{{BC}}\).

Các mặt kệ sách đặt song song với mặt đất nên là hình ảnh của các mặt phẳng song song nhau, ta kí hiệu các mặt phẳng từ đáy kệ sách lên trên lần lượt là \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\).

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(\frac{{FG}}{{BC}} = \frac{{GH}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{FG}}{{GH}} = \frac{{BC}}{{CD}}\).

Mà \(BC = CD\) nên \(\frac{{FG}}{{GH}} = 1 \Rightarrow FG = GH\).

Tương tự áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(EF = FG\).

Từ đó suy ra \(GH = FG = EF = 32\) cm.

Vậy \(HE = EF + FG + GH = 96\)cm.

Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).

Theo bài ra ta có \({h_n} = \frac{3}{{10}}{h_{n - 1}}\) nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là 1 cấp số nhân với \({h_1} = \frac{3}{{10}}.7,2\) với công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).

Gọi \({v_n}\) là độ dài quãng đường bóng rơi từ trên xuống đất lần thứ \(n\).

Theo bài ta ta có \({v_n} = \frac{3}{{10}}{v_{n - 1}}\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({v_1} = 7,2\) và công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).

Nếu quá trình bóng rơi xuống, nảy lên diễn ra mãi thì tổng quãng đường bóng di chuyển được bằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n} + ...} \right) + \left( {\left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_n} + ...} \right)} \right)} \right]\)

\( = \left( {7,2.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) + \left( {7,2.\frac{3}{{10}}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) = \frac{{468}}{{35}} \approx 13,4\) (m).