Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\). Tính \(\frac{{MN}}{{BC}}\).

Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1;n \in \mathbb{N}} \right)\).

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 1\).

Theo đề ta có \({S_n} = 465\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 30\).

Vậy khu vườn có 30 hàng cây.

Các mặt kệ sách đặt song song với mặt đất nên là hình ảnh của các mặt phẳng song song nhau, ta kí hiệu các mặt phẳng từ đáy kệ sách lên trên lần lượt là \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\).

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(\frac{{FG}}{{BC}} = \frac{{GH}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{FG}}{{GH}} = \frac{{BC}}{{CD}}\).

Mà \(BC = CD\) nên \(\frac{{FG}}{{GH}} = 1 \Rightarrow FG = GH\).

Tương tự áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(EF = FG\).

Từ đó suy ra \(GH = FG = EF = 32\) cm.

Vậy \(HE = EF + FG + GH = 96\)cm.