Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\). Khi đó

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

a) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và \(x \to {1^ + }\) thì \(x - 1 > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3\).

c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.