Bạn An muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 20 gam đường, còn một lít nước cam loại II cần 60 gam đường. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng An chỉ có thể dùng không quá 200 gam đường. Bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn An có thể pha chế được là \(ax - by \le 10\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(2{a^2} + 100b\).

Gọi N là trung điểm của BC.

Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD} \)\( = - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \)\( = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).

Suy ra \(m = 2;n = 1\). Do đó \(m + n = 3\).

Trả lời: 3.

a) Parabol có tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(\left( {0;3} \right)\) ta thấy thỏa mãn. Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\).

c) Ta có \(f\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\).

Do đó \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)\).

d) \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {3 - x} \) \( \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  = \sqrt {3 - x} \).

Bình phương hai vế của phương trình ta được \( - {x^2} + 2x + 3 = 3 - x\)\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).

Thay 2 giá trị của \(x\) vào bất phương trình \(3 - x \ge 0\) thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {3 - x} \) có 2 nghiệm.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.