Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 15^\circ \,;\,\,\widehat B = 30^\circ \,;\,\,AB = 15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\)

a) Tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn.

b) Độ dài \(AH\) là \(7,5\,\,{\rm{cm}}\).

c) Tam giác \(HAC\) là tam giác nhọn.

d) Diện tích tam giác \(ABC\) khoảng \(20\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (khi làm tròn đến hàng đơn vị).

Đặt \(CH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0\).

• Xét \(\Delta HBC\) vuông tại \[H,\] ta có:

\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) hay \(\tan 52^\circ  = \frac{x}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{x}{{\tan 52^\circ }}\).

• Xét \(\Delta HAC\) vuông tại \[H,\] ta có:

\(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) hay \(\tan 41^\circ  = \frac{x}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{x}{{\tan 41^\circ }}\).

Ta có: \(HB + HA = AB\)

\(\frac{x}{{\tan 52^\circ }} + \frac{x}{{\tan 41^\circ }} = 150\)

\(x\left( {\frac{1}{{\tan 52^\circ }} + \frac{1}{{\tan 41^\circ }}} \right) = 150\)

\[x = \frac{{150}}{{\frac{1}{{\tan 52^\circ }} + \frac{1}{{\tan 41^\circ }}}} \approx 78\;\,({\rm{m)}}.\]

Vậy độ cao máy bay là \[78{\rm{ m}}.\]

Đáp án: 78.

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = 60^\circ \].

Gọi \[x\] (m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện \[x > 0\].

Vì xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] trong \[6\] phút nên \[CD = 6x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

• Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ  = AB \cdot \tan 60^\circ  = \sqrt 3 AB\] (do \[\cot 30^\circ  = \tan 60^\circ \]) \[\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \,\cot \widehat {BDA} = AB \cdot \,\cot 60^\circ  = AB \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}\] (do \[\cot 60^\circ  = \tan 30^\circ \]) \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AC - AD = AB\left( {\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\] nên \[CD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB\].

Ta có \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}:\frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6x = 3x\,\,({\rm{m}}).\]

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{{3x}}{x} = 3\] (phút).

Đáp án: 3.