Để xác định chiều cao \[AH\] của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí \[B\] và \[C\] cách nhau \[475\,\,{\rm{m}}\] trên mặt đất. Tại vị trí \[B\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[34^\circ \]; tại vị trí \[C\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \] (hình vẽ). Biết rằng tầm mắt của người quan sát là \[{\rm{1,6}}\,\,{\rm{m}}\] và giả thiết ba điểm \[H,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng. Tính chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

 

Lời giải

Gọi \[D\] và \[E\] lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí \[B\] và \[C.\]

Gọi \[I\] là hình chiếu của điểm \[D\] trên \[AH\].

So với mặt đất thì \[BD\] và \[CE\] là phương thẳng đứng; \[HC\] và \[IE\] là phương ngang nên các tứ giác \[IHBD,\,\,IHCE,\,\,DBCE\] là hình chữ nhật.

Do đó \[DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}\]; \[IH = DB = EC = 1,6\,\,{\rm{m}}\].

• Xét \[\Delta AID\] vuông tại \[I\] nên:

\[ID = AI \cdot \,\cot \widehat {ADI} = AI \cdot \,\cot 34^\circ  = AI \cdot \tan 56^\circ \] (do \[\cot 34^\circ  = \tan 56^\circ \]).   \[\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta AIE\] vuông tại \[I\] nên:

\[IE = AI \cdot \,\cot \widehat {AEI} = AI \cdot \,\cot 30^\circ  = AI \cdot \tan 60^\circ \] (do \[\cot 30^\circ  = \tan 60^\circ \]).   \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[IE - ID = AI\left( {\tan 60^\circ  - \tan 56^\circ } \right)\]

\[AI\left( {\tan 60^\circ  - \tan 56^\circ } \right) = 475\]

 \[AI = \frac{{475}}{{\tan 60^\circ  - \tan 56^\circ }} \approx 1\,\,903,9\,\,({\rm{m}}).\]

Chiều cao \[AH\] của ngọn núi là:

\[AH = AI + IH \approx 1903,9\, + 1,6\, \approx 1906\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\]

Vậy chiều cao \[AH\] của ngọn núi là \[1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Đáp án: 1906.