Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(2;1;0)\) mặt phẳng \((P): - x + 2y - 4z + 4 = 0\) và mặt phẳng \((Q): - x + 2y - 4z + 10 = 0\).

(a) \((P)\) vuông góc với \((Q)\).

(b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(O\), \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng \(ax + by + 5z + d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).

(c) Khoảng cách giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Q)\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {21} }}\).

(d) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian \[Oxyz\] (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí \(I\left( {200\,;\,450\,;\,60} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(m\) (làm tròn đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí \(A\left( {m + 100\,;\,m + 370\,;\,0} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A(5;\;0;\;5)\) đến vị trí \(B(10;\;10;\;3)\) và hạ cánh tại vị trí \(M(a;\;b;\;0).\) Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{4}\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt ở vị trí \(I\left( {1;3;7} \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(3{\rm{km}}\).

(a) Phương trình mặt cầu \((S)\) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \({(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 7)^2} = 9\).

(b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \(B\left( {5;6;7} \right)\) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

(c) Điểm \(A\left( {2;2;7} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

(d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ \(A\left( {2;2;7} \right)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình lập phương \(ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \) có \(A(0;\;0;\;0),\;\;B(2;\;0;\;0),\) \(D(0;\;2;\;0),\;\;A\prime (0;\;0;\;2).\) Gọi \(M,\;\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA\prime \).

(a) Toạ độ của điểm \(M\)là \((1;\;0;\;0).\)

(b) Tọa độ của điểm \(N\)là \((0;\;1;\;0).\)

(c) Phương trình mặt phẳng \((DMN)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\)

(d) Khoảng cách từ điểm \(C\prime \) đến mặt phẳng \((DMN)\) bằng \(\frac{8}{3}.\)

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 4), đường thẳng \(d:\frac{{x - 10}}{7} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 15}}{8}\) và mặt phẳng (P): \(2x - y + 3z - 1 = 0\).

(a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).

(b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 68° (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(c) Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(\left( Q \right):7x + y + 8z - 40 = 0\).

(d) Phương trình mặt cầu tâm M và có bán kính bằng khoảng cách từ M đến (P) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).