Cho bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các cạnh\(AB,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MN\) cắt \(BD\) tại \(I\). Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

\(\left( I \right)\): \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\)với mặt phẳng\[\left( {BCD} \right)\].

\(\left( {II} \right)\): \(I\) thuộc mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

\(\left( {III} \right)\): \(MN\) là giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {MNC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABI} \right)\].

\(\left( {IV} \right)\): Thiết diện của hình chóp \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNC} \right)\] là tam giác \(MNC\).

a) Giao tuyến của \((SAC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(SA\).

b) Giao tuyến của \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(SE\).

c) Giao tuyến của \((SAB)\) và \((SFC)\) là đường thẳng \(d'\) đi qua \(S\) và song song cạnh \(CD\).

d) Giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song cạnh \(CD\).

PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.

Cho tứ diện ABCD. Trên AC,AD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (OMN).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in [0;2024]\) để hàm số \(y = \sin \left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 2x + {m^2} + 3}}} \right)\) có tập xác định là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\)?

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.

Mực nước cao nhất tại một cảng biển là \(16{\rm{\;m}}\) khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là \(10{\rm{\;m}}\). Đồ thị ở hình dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước \(h\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) theo thời gian \(t\left( {{\rm{\;h}}} \right)\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h = m + a{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(m,a\) là các số thực dương cho trước. Tìm thời điềm trong ngày khi chiều cao của mực nước là \(11,5{\rm{\;m}}\) và tính tổng các thời điểm đó.

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(150{\rm{\;m}}\). Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(60\% \) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ).

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Rút gọn biểu thức ta được \(y = \sin 2x\).

b) Nếu \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{3}\) thì giá trị biểu thức \(P = \frac{{2\tan 2x + \cot 2x}}{{4\tan 2x - 3\cot 2x}}\) là \(\frac{5}{{14}}\).

c) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\).             

d) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).