Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen  trong một hồ nước sau \(t\) giờ \((t \ge 0)\) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được tính xấp xỉ bởi hàm số \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}.\)

Gọi tọa độ điểm \(B\left( {550;\,y;\,z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {540;\,y - 3;\,z} \right)\).

Do đường đi của cabin cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) nên ta có:

\(\frac{{540}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 3 =  - 540}\\{z = 270\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y =  - 537}\\{z = 270}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {550;\, - 537;\,270} \right)\).

Quãng đường \(AB\) bằng \(AB = \sqrt {{{540}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{270}^2}}  = 810\).

Vận tốc của cabin bằng \(v = \frac{{AB}}{{3.60}} = 4,5\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Thời gian để cabin chuyển động đều từ điểm \(A\) đến điểm \(D\) là: \(\frac{{3780}}{{4,5}} = 840\).

Gọi điểm thắt một đầu bên trên là \[O\] và \[3\] điểm nối \[3\] sợi dây với giá gỗ tạo thành tam giác đều \[ABC\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Do đó, \[GA = GB = GC = 20cm\]. Gọi \[F\] là độ lớn của các lực căng \[{F_1},{F_2}\;,{F_3}\] trên mỗi sợi dây. Đặt \[F = \;x\] với \[0 < x \le 15\].

Theo bài ra ta có \[OA = OB = OC = 60cm\] nên \[OG \bot \left( {ABC} \right)\] và \[\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = 60\]

Do đó, \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]. Từ đó ta có \[\overrightarrow {{F_1}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OA} ,  \overrightarrow {{F_2}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OB} ,  \overrightarrow {{F_3}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OC} \].

Suy ra \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \frac{x}{{60}}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{{3x}}{{60}}\overrightarrow {OG}  = \frac{x}{{20}}\overrightarrow {OG} \].

Mặt khác, ta lại có \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \] với \[\overrightarrow P \] là trọng lượng của giá gỗ và các chậu hoa.

Nên ta có \[\left| {\overrightarrow P } \right| = \frac{x}{{20}}\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \frac{{x\sqrt {{{60}^2} - {{20}^2}} }}{{20}} = x\sqrt 8  \le 15\sqrt 8 \].

Vậy giá trị lớn nhất trọng lượng giá gỗ và chậu hoa là \[\max \left| {\overrightarrow P } \right| = 15\sqrt 8 .\]

Suy ra trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là \[15\sqrt 8  - 5 \approx 37,4\left( N \right)\].