Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta đặt \(A'M = x\), khi đó ta được:
\(MB' = 492 - x,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)
Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\)với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
\(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{.\;}}\)
\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{(492 - x)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(487x)}^2} = {{(58056 - 118x)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\). So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right),f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất là \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;m}}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[P'\left( t \right) = \frac{{ - 8{t^2} - 8t + 6}}{{{{\left( {4{t^2} + 2t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {2t - 1} \right)\left( { - 2t - 3} \right)}}{{{{\left( {4{t^2} + 2t + 4} \right)}^2}}}\]
\[P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{2}\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại \[t = \frac{1}{2}\] và \[P'\left( t \right) < 0,\forall t > \frac{1}{2}\] nên sau \[0,5\left( h \right)\] thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Lời giải
Xét tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\) và \(GA = GB = GC = x\)
Ta có: \( - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \), bình phương hai vế ta được \(G{A^2} = G{B^2} + G{C^2} + G{D^2} + 2\overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {GC} \cdot \overrightarrow {GD} \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{x^2} + 2{x^2}\cos \alpha + 2{x^2}\cos \alpha + 2{x^2}\cos \alpha \Leftrightarrow - 2{x^2} = 6{x^2} \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \alpha \approx {109^^\circ }\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo