Một em nhỏ cân nặng \(m = 25\;\)kg trượt trên cầu trượt dài \(3,5\;\)m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \).

Tính độ lớn của trọng lực \(\vec P = m\vec g\) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\vec g\) có độ lớn là \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\). (làm tròn đến hàng đơn vị)

Ta có doanh thu của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(D\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}\).

Chi phí của doanh nghiệp để sản xuất \(x\) máy tính bảng là: \(C\left( x \right) = x.c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000\).

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(L\left( x \right) = D\left( x \right) - C\left( x \right) = 4000x - 10{x^2} - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right)\)\( =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).

Xét hàm \(L\left( x \right) =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\left( {1 \le x \le 200;x \in \mathbb{N}} \right)\).

Có \(y' =  - 3{x^2} + 120x + 3600\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\\x =  - 20\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh nghiệp đó sẽ bán \(60\) máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.

Gọi \(y\) là chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)cm \( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2  < BD - 20\sqrt 2  = 40 - 20\sqrt 2  \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lại có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

Thế vào (1), ta được

\(S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2  - 4{x^2}}  = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}} \)

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2  - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2  - {x^2}} \right)\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy \(x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3,97\) chính là giá trị cần tìm.