Có ba nhóm máy \(X,Y,Z\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt phải dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Công ty cần sản suất tổng số bao nhiêu sản phẩm loại 1 và sản phẩm loại 2 đề cho tổng số tiền lãi thu được là cao nhất?

Gọi \(a,b,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích Văn, Toán, Anh.

\(x\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Toán.\(y\)

là số học sinh chỉ thích hai môn Anh, Toán.

\(z\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Anh.

Điều kiện \(a,b,c,x,y,z, \in \mathbb{N}\).

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn là

\(440 - 65 = 375{\rm{(em)}}{\rm{. }}\)

Ta có hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + x + z + 75 = 250 &  & \left( 1 \right)}\\{b + x + y + 75 = 210 &  & \left( 2 \right)}\\{c + y + z + 75 = 240 &  & \left( 3 \right)}\\{a + b + c + x + y + z + 75 = 375 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right.\]

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(a + b + c + 2(x + y + z) = 475\) (5)

Từ (4), (5) suy ra \(a + b + c = 125\).

Vậy có 125 em chỉ thích một trong ba môn trên.

Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAH} = {57^^\circ } - {47^^\circ } = {10^^\circ }\).

Áp dụng định lí sin ta có

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAH}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAH}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}}\)

Suy ra \(CH = BC\sin \widehat {CBH} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }\sin {{57}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}} \approx 222,5m\).