Tam giác \[ABC\] có \(\cos \left( {A + B} \right) =  - \frac{1}{8}\), \[AC = 4\], \[BC = 5\]. Tính cạnh \[AB\]

Gọi \(a,b,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích Văn, Toán, Anh.

\(x\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Toán.\(y\)

là số học sinh chỉ thích hai môn Anh, Toán.

\(z\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Anh.

Điều kiện \(a,b,c,x,y,z, \in \mathbb{N}\).

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn là

\(440 - 65 = 375{\rm{(em)}}{\rm{. }}\)

Ta có hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + x + z + 75 = 250 &  & \left( 1 \right)}\\{b + x + y + 75 = 210 &  & \left( 2 \right)}\\{c + y + z + 75 = 240 &  & \left( 3 \right)}\\{a + b + c + x + y + z + 75 = 375 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right.\]

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(a + b + c + 2(x + y + z) = 475\) (5)

Từ (4), (5) suy ra \(a + b + c = 125\).

Vậy có 125 em chỉ thích một trong ba môn trên.

Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAH} = {57^^\circ } - {47^^\circ } = {10^^\circ }\).

Áp dụng định lí sin ta có

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAH}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAH}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}}\)

Suy ra \(CH = BC\sin \widehat {CBH} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }\sin {{57}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}} \approx 222,5m\).