Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \[AB = x\], \[AD = 1\]. \[\widehat {BA'C} = 30^\circ \]. \(M\) là điểm di chuyển trên đoạn \(BD\).

              a) Giá trị lớn nhất của góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BA'\) là \({60^o}\)

              b) Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \[(ABB'A')\] là \[\sqrt 2 \].

              c) Giá trị lớn nhất \[{V_{max}}\] của thể tích khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]là \[{V_{max}} = \frac{3}{2}\]

              d) Giá trị lớn nhất của tan góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) không tồn tại.

Lời giải

Sai

Dựng \[MN \bot AB \Rightarrow MN \bot (ABB'A') \Rightarrow {d_{(M;(ABB'A'))}} = MN\].

Vì \(M\) di chuyển trên cạnh \(BD\) nên \[MN \le AD = 1\]. Suy ra giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \[(ABB'A')\] là 1. Đúng

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BB'\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\] khi đó \(\left( {AB',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {AB'B} = \alpha \)

Ta có \[A'B = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {BA'C}}} = \frac{1}{{\tan 30^\circ }} = \sqrt 3 \] ; \[BB' = A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}} \]

\(\tan \,(\widehat {AB'B}) = \frac{{AB}}{{BB'}} = \frac{x}{{\sqrt {3 - {x^2}} }}\). Với \(x \in (0;\sqrt 3 )\)

Hàm số trên không tồn tại GTLN trên \((0;\sqrt 3 )\).Đúng

Ta có \[A'B = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {BA'C}}} = \frac{1}{{\tan 30^\circ }} = \sqrt 3 \] ; \[A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}} \].

\[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.AA' = x\sqrt {3 - {x^2}}  \le \frac{{{x^2} + \left( {3 - {x^2}} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\].

Dấu \[ = \] xảy ra \[ \Leftrightarrow x = \sqrt {3 - {x^2}}  \Leftrightarrow {x^2} = 3 - {x^2} = x = \sqrt {\frac{3}{2}} \] \(x \in (0;\sqrt 3 )\)

Vậy \[{V_{max}} = \frac{3}{2}\].Sai

Khi \(AB = BB'\) thì \[ABB'A'\] là hình vuông,

Dấu \[ = \] xảy ra \[ \Leftrightarrow x = \sqrt {3 - {x^2}}  \Leftrightarrow {x^2} = 3 - {x^2} = x = \sqrt {\frac{3}{2}} \] \(x \in (0;\sqrt 3 )\)

Khi đó góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BA'\)là \({90^o}\).