Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\), đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\).

              a) \(\,r = \frac{{60 - 2a}}{\pi }.\)

              b) Nếu cắt sợi dây thành hai đoạn bằng nhau và vẫn uốn thành một hình vuông và một hình tròn thì hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông.

              c) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là \(\frac{1}{\pi }\left[ {\left( {\pi  + 4} \right){a^2} - 120a + 900} \right]\).

              d) Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số \(\frac{a}{r}\) bằng \(\frac{1}{2}.\)

Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng \(a.\pi \left( {c{m^3}} \right),a \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị lớn nhất của \(a\) là bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

              a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\),

              b) Đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).

              c) Đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\).

              d) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi \( - 1 < m < 7\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(C\left( { - 10;17; - 7} \right)\).

              a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 10\).

              b) Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABD\) là \(H\left( { - 5;12;4} \right)\).

              c) Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( { - 6;9; - 1} \right)\).

              d) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 4;5;2} \right)\).