Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là \(20\) USD/người thì trung bình có \(1000\) người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm \(1\) USD/người thì sẽ mất \(100\) khách hàng hoặc giảm đi \(1\) USD/người thì sẽ có thêm \(100\) khách hàng trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại \(2\) USD lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.

Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng \(a.\pi \left( {c{m^3}} \right),a \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị lớn nhất của \(a\) là bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

              a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\),

              b) Đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).

              c) Đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\).

              d) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi \( - 1 < m < 7\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(C\left( { - 10;17; - 7} \right)\).

              a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 10\).

              b) Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABD\) là \(H\left( { - 5;12;4} \right)\).

              c) Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( { - 6;9; - 1} \right)\).

              d) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 4;5;2} \right)\).