Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 2 như hình vẽ. Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm cạnh \(AB\), góc \(\widehat {A'AO} = {60^ \circ }\). Với hệ toạ độ \(Oxyz\) được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ \(O\) trùng với trung điểm của đoạn \(BC\)), hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

              a) Tọa độ điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right)\).

              b) Tọa độ điểm \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\).

              c) Tọa độ điểm \(A'\left( {0; - 1;\sqrt 3 } \right)\).             

              d) Tọa độ điểm \(C'\left( {1;\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\).

\(y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)

Tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(A,B\) có cùng hệ số góc và chỉ khi \(f'\left( {{x_A}} \right) = f'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow x_A^2 = x_B^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\left( L \right)\\{x_A} + {x_B} = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A,B\)đối xứng nhau qua \(I\left( {0;2} \right)\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right).\)

\(AB \bot d:x + y - 5 = 0 \Rightarrow AB:x - y + m = 0.\)

\(AB\)qua \(I\) nên ta có \(m = 2 \Rightarrow AB:x - y + 2 = 0.\)

Khi đó hoành độ \(A,B\)thỏa mãn phương trình

\({x^3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;(L)\\x =  \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;4} \right),B\left( { - 2;0} \right)\).

Gọi chiều dài của trang giấy là \(x\,cm\) ta có chiều rộng là \(\frac{{600}}{x}cm\).

Chiều dài và chiều rộng của phần in chữ lần lượt là \(x - 4\) và \(\frac{{600}}{x} - 5\)

Diện tích phần in chữ là \(f\left( x \right) = \left( {\frac{{600}}{x} - 5} \right)\left( {x - 4} \right) = 620 - 5x - \frac{{2400}}{x}\)

\(f'\left( x \right) = \frac{{2400}}{{{x^2}}} - 5 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\sqrt {30} \)

Vậy diện tích lớn nhất của phần in chữ xấp xỉ 401 \(c{m^2}\).