Trong thống kê tại một chuỗi nhà máy của công ty X, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần sẽ có thêm 1 tổ nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ . Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P\left( x \right) = \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\), với \(x\) là thời gian làm việc trong một tuần. Công ty cần áp dụng thời gian làm việc mấy giờ mỗi tuần để số lượng sản phẩm thu được hàng tuần là lớn nhất?

Gọi \(x\left( {cm} \right);y\left( {cm} \right)\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {x,y > 0;x < 30} \right)\)

Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120cm.

Ta có: \(\left( {2x + y} \right).4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 - 2x\)

Thể tích khối hộp quà là: \(V = \pi {x^2}.y = \pi {x^2}\left( {30 - 2x} \right)\)

Thể tích V lớn nhất khi hàm số \(f(x) = {x^2}\left( {30 - 2x} \right)\) với \(0 < x < 30\) đạt GTLN

\(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 60x\), cho \(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 60x = 0 \Leftrightarrow x = 10\)

Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là \(V = 1000\pi \left( {c{m^3}} \right) = \pi \left( {d{m^3}} \right)\).

 Đúng: Khi \(m = 0\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y =  - x + 1\)

 Đúng: Khi \(m = 0:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} =  - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}\)

Tâp xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đạo hàm \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 4}\\{x = 3 \Rightarrow y =  - 4}\end{array}} \right.\)

là đường tiệm cận đứng; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - x + 1:y =  - x + 1\) là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

\(x = 0 \Rightarrow y = 5;\,\,y = 0 \Rightarrow  - {x^2} + 2x - 5 = 0{\rm{ (v\^o  nghiem) }}\)

Đồ thị hàm số không cắt \(Ox\).

 Sai: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - m - 5}}{{x - 1}}\); \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2m - 2 + m + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x - m + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Hàm số \[y\] có cực đại cực tiểu khi phương trình \( - {x^2} + 2x - m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 3 = 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4\)

Nghiệm \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 2 - m + 3 \ne 0\)\( \Leftrightarrow m \ne 4\)

Điều kiện sau cùng: \(m < 4\)

 Đúng: \({x_M} > 1 \Rightarrow M\) thuộc nhánh bên phải của \[\left( C \right)\] nên \(I\left( {1\,;\,0} \right)\)

Toạ độ điểm \(M\left( {m\,;\, - m + 1 - \frac{4}{{m - 1}}} \right)\); \[I{M^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + \left[ {{{\left( { - m + 1} \right)}^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + 8} \right]\]

\[ = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + 8 \ge 2\sqrt 2 \left( {m - 1} \right).\frac{4}{{\left( {m - 1} \right)}} + 8 \Rightarrow I{M^2} \ge 8\left( {\sqrt 2  + 1} \right) \Rightarrow IM \ge \sqrt {8\left( {\sqrt 2  + 1} \right)} \]

\[IM\]ngắn nhất khi \(2{\left( {m - 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^4} = 8 \Leftrightarrow m = 1 + \sqrt[4]{8}\)\( \Rightarrow {y_M} =  - \sqrt[4]{8} - \frac{4}{{\sqrt[4]{8}}} <  - 4\)