Trong cơ khí chế tạo, một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ, nhận \[AB\] và \[CD\] làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \[5\,{\rm{dm}}\], các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \[2\,{\rm{dm}}\], \[AB = CD = 4\,{\rm{dm}}\] và chi phí sơn là 82 000 đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

a) Sai. Ta có \[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{dt}} = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + C} \].

Tại thời điểm xuất phát \(\left( {t = 0} \right)\), độ cao của khinh khí cầu là 520 m nên

\[h\left( 0 \right) = 520 \Rightarrow C = 520\].

Vậy \[h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520\].

b) Đúng. Tại thời điểm \(t = 3\) phút, độ cao của khinh khí cầu là \(h\left( 3 \right) = 524,32\) m.

c) Đúng. Ta có \(h'\left( t \right) = v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\), suy ra \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.

d) Đúng. Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì

\(h\left( t \right) = 520 \Leftrightarrow - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520 = 520 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 15\end{array} \right.\).

Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.

a) Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\) là

\(R\left( {12} \right) = \int\limits_0^{12} {R'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} \) (triệu đồng).

b) Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) là \(C\left( t \right) = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 48t + 4{t^3} + c\).

Chi phí ban đầu là 0, tức là \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\). Do đó, \(C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).

Tổng chi phí trong 6 năm là \(C\left( 6 \right) = 48 \cdot 6 + 4 \cdot {6^3} = 1152\) (triệu đồng).

c) Sai. Ta có \[R\left( t \right) = \int {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 650t - {t^3} + b\].

Từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động \(\left( {t = 0} \right)\) thì \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow b = 0\). Do đó, \(R\left( t \right) = 650t - {t^3}\).

Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra là \(P\left( t \right) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = \left( {650t - {t^3}} \right) - \left( {48t + 4{t^3}} \right) = 602t - 5{t^3}\).

Ta có \(P'\left( t \right) = 602 - 15{t^2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \,\,\,\left( {{\rm{do}}\,t \ge 0} \right)\).

Lập bảng biến thiên ta kết luận được lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \approx 6,33\) (năm) và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8 năm.

Lưu ý: Ta có thể xác định ngay \(P'\left( t \right) = R'\left( t \right) - C'\left( t \right) = 602 - 15{t^2}\) mà không cần xác định \(R\left( t \right)\).

d) Sai. Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là

\(\int\limits_0^{\sqrt {\frac{{602}}{{15}}} } {\left( { - 15{t^2} + 602} \right){\rm{d}}t} \)\( \approx 2542,5\) (triệu đồng).