Đề ôn luyện Toán Chương 2. Nguyên hàm và tích phân (đề số 2)

Hàm số \(F\left( x \right) = {e^{{x^3}}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Họ tất cả các nguyên hàm của \[f\left( x \right) = {x^2} + \sin 2x\] là

Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {{2^x} \cdot {{\rm{3}}^x}} \right){\rm{d}}x} \) ta được kết quả là

Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 7\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {\left[ {3f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\), \(g\left( x \right) = - x + 6\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) (xem hình bên) bằng

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\] \[\left( { - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 } \right)\], mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là \[\sqrt {3 - {x^2}} \]. Thể tích của vật thể đã cho bằng

Cho hàm số\(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên. Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng \(x = 2\) và \(x = 3\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng

Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm \(t\) là \(h\left( t \right)\), trong đó \(t\) tính bằng phút, \(h\left( t \right)\) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\) với \(v\left( t \right)\) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát \(\left( {t = 0} \right)\) khinh khí cầu ở độ cao \(520\) m.

a) \(h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2}\,\,\,\left( {0 \le t \le 29} \right)\).

b) Tại thời điểm \(t = 3\) phút, độ cao của khinh khí cầu là 524,32 m.

c) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là 540 m.

d) Sau 15 phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.

Giả sử rằng khi tăng \(t\) năm tuổi, một máy công nghiệp \(A\) tạo ra doanh thu với tốc độ \(R'\left( t \right) = 650 - 3{t^2}\) (triệu đồng/năm), thời điểm \(t = 0\) tính từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là \(C'\left( t \right) = 48 + 12{t^2}\) (triệu đồng/năm), ở đây \(C\left( t \right)\) là chi phí vận hành và bảo trì của máy\(A\) khi nó được \(t\) năm tuổi.

a) Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\) là \(\int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{dt}}} \) (triệu đồng).

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy \(A\) này là 8 năm.

d) Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2532 triệu đồng.

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4.\)

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {x\,{\rm{d}}x} \).

b) Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\) Khi đó, \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\).

c) Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).

d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).

Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ nhung Nhật. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa và cỏ nhung Nhật tương ứng là 250 000 đồng/m² và 150 000 đồng/m². Hỏi chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Trong cơ khí chế tạo, một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ, nhận \[AB\] và \[CD\] làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \[5\,{\rm{dm}}\], các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \[2\,{\rm{dm}}\], \[AB = CD = 4\,{\rm{dm}}\] và chi phí sơn là 82 000 đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục \(AB\).

Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đường tròn đường kính \(AB\) và cung tròn tâm \(A\). Biết \(AB = 8{\rm{ cm}}\) và điểm \(K\) trong hình vẽ thỏa mãn \(AK = 3{\rm{ cm}}\). Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên) có dạng hình tròn đường kính \(AB\) bằng \(12\,{\rm{m}}\). Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua \(AB\), nằm trong hình tròn, đi qua các điểm \(A,\,B\) và có đình cách mép hình tròn \(1\,{\rm{m}}\). Phần giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa với chi phí \(300\) nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gạch gốm sứ với chi phí \(900\) nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).