Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(5\sqrt 2 \), tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SB\).

\(\Delta SAD\) cân tại \(S\) và gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\) thì \(SH \bot AD\).

Ta có \(DC\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow DC\,{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\, \Rightarrow d\left( {DC,\,SB} \right) = d\left( {DC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\,\left( {SAB} \right)} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,SH \bot AD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot AD\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}SD \bot SA\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\\SD \bot AB\,\left( {{\rm{do}}\,AB \bot \left( {SAD} \right)} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow SD \bot \left( {SAB} \right)\). Suy ra \(d\left( {D,\,\left( {SAB} \right)} \right)\, = SD\).

\(\Delta SAD\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(2S{D^2} = A{D^2} \Rightarrow S{D^2} = \frac{{A{D^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = 25 \Rightarrow SD = 5\).

Vậy \(d\left( {DC,\,SB} \right) = 5\).

Đáp án: 5.