Một đèn thả gỗ có dạng hình chóp cụt đều như hình bên. Đáy và mặt trên là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng \(40{\rm{cm, 20cm}}\), cạnh bên của đèn dài \(10\sqrt 5 \,{\rm{cm}}\). Mặt bên và mặt trên của đèn tạo thành góc nhị diện có số đo bằng bao nhiêu độ?

Mô hình hóa chiếc đèn như hình dưới đây.

Gọi \(M,{\rm{ }}M'\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(DC\) và \(D'C'\). Dễ chứng minh \(MM' \bot DC\) và \(OM \bot DC\) (\(OM\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\)).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = DC\\OM \subset \left( {ABCD} \right),OM \bot DC\\MM' \subset \left( {DCC'D'} \right),MM' \bot DC\end{array} \right.\] nên \(\widehat {OMM'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt trên của đèn.

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(H = OM \cap AB\), khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HM\,{\rm{//}}\,AD,\,\,HM = AD = 20\,\,{\rm{cm}}\\O'M'\,{\rm{//}}\,A'D',\,\,O'M' = \frac{1}{2}A'D' = \frac{{40}}{2} = 20\,\,{\rm{cm}}\\AD\,{\rm{//}}\,A'D'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HM\,{\rm{//}}\,O'M'\\HM = O'M'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow HMM'O'\) là hình bình hành.

Dễ chứng minh \(BDO'B'\) là hình bình hành, suy ra \(O'D = BB' = 10\sqrt 5 \,\,{\rm{cm}}\).

\(OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt 2 = 10\sqrt 2 \,{\rm{cm}}\).

\(OO' = \sqrt {O'{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 10\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}\).

\(OH = \frac{1}{2}BC = 10\,{\rm{cm}}\) (\(OH\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)).

Xét \(\Delta OO'H\) vuông tại \(O\), \(\tan \widehat {OHO'} = \frac{{OO'}}{{OH}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {OHO'} = 60^\circ \).

Mà \(HMM'O'\) là hình bình hành nên \(\widehat {OMM'} + \widehat {OHO'} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OMM'} = 120^\circ \).

Đáp án: 120.