Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(SA = 2a\), \(AB = a\).

a) \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Gọi \(H\) hình chiếu của \(A\) lên \(SB\). Ta có \(AH \bot SC\).

c) \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).

d) Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\)

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.

Cách 1:

Vì khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm, nên ta có thể tích nước trong khay thứ nhất trước khi đổ ra là:

\(20 \cdot 10 \cdot 8 = 1600\) (cm³).

Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi \(\frac{1}{4}\) so với ban đầu, cho nên lượng nước có ở trong khay thứ 2 bằng \(\frac{1}{4}\) lượng nước ban đầu có ở trong khay thứ nhất. Như vậy, thể tích nước có trong khay thứ hai là \(\frac{1}{4} \cdot 1600 = 400\) (cm³).

Gọi chiều cao của khay thứ hai là h (cm).

Giả sử khay thứ hai có hình dạng chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\)như hình vẽ sau:

Dễ dàng chứng minh được \(ACC'A'\) là hình thang cân. Lấy \(MN\) song song với \[AC;H,K\]lần lượt là hình chiếu của \(A',C'\) trên \(AC;P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(A'H\) và \(MN\), \(C'K\) và \(MN\) như hình vẽ sau:

Theo giả thiết mực nước (ngang với \(MN\)) trong khay thứ hai cao bằng \(\frac{2}{5}\) chiều cao của khay đó, nên ta có thể coi \(C'Q\) chính là chiều cao nước trong khay.

Dễ thấy \(A'H = C'K = h\).

Suy ra \(C'Q = \frac{2}{5}h\), có nghĩa là chiều cao nước trong khay thứ hai là \(\frac{2}{5}h\).

Dễ dàng chứng minh được \(HKC'A'\)là hình chữ nhật.

Từ đó ta có \(A'C' = HK = n\), \(AH = CK = \frac{{AC - HK}}{2} = \frac{{2n - n}}{2} = \frac{n}{2}\).

Tam giác \(A'AH\) có \(MP{\rm{//}}AH\) nên theo hệ quả định lí Thales ta có: \(\frac{{MP}}{{AH}} = \frac{{A'P}}{{A'H}} = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow MP = \frac{2}{5}AH = \frac{2}{5} \cdot \frac{n}{2} = \frac{n}{5}\).

Tương tự tam giác \(C'CK\) có \(QN{\rm{//}}CK\) nên ta cũng có \(QN = \frac{n}{5}\).

Do đó \(MN = MP + PQ + QN = \frac{n}{5} + n + \frac{n}{5} = \frac{{7n}}{5}\).

Theo giả thiết ta có thể tích nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận \(MN\) làm đường chéo có diện tích \({S'_1}\) và đáy nhỏ (hình vuông) nhận \(A'C'\) làm đường chéo có diện tích \({S'_2}\) , chiều cao bằng \(h' = \frac{2}{5}h\).

Ta có \[{S'_1} = \frac{{M{N^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{{7n}}{5}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{49{n^2}}}{{50}};\,\,{S'_1} = \frac{{A'{{C'}^2}}}{2} = \frac{{{n^2}}}{2}\].

\[ \Rightarrow V' = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}h \cdot \left( {\frac{{49{n^2}}}{{50}} + \sqrt {\frac{{49{n^2}}}{{50}} \cdot \frac{{{n^2}}}{2}} + \frac{{{n^2}}}{2}} \right) = \frac{{109}}{{375}}{n^2}h = 400\]\[ \Rightarrow {n^2}h = \frac{{150000}}{{109}}\].

Mặt khác, thể tích khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận \(AC\) là đường chéo có diện tích \({S_1}\) và đáy nhỏ (hình vuông) nhận \(A'C'\) làm đường chéo có diện tích \({S_2}\), chiều cao bằng \(h\).

\[{S_1} = \frac{{A{C^2}}}{2} = 2{n^2};{S_2} = \frac{{A'{{C'}^2}}}{2} = \frac{{{n^2}}}{2}\]

\[ \Rightarrow V = \frac{1}{3}h \cdot \left( {2{n^2} + \sqrt {2{n^2} \cdot \frac{{{n^2}}}{2}} + \frac{{{n^2}}}{2}} \right) = \frac{7}{6}{n^2}h = \frac{7}{6} \cdot \frac{{150000}}{{109}} \approx 1606\] (cm³).

Vậy tổng các chữ số của số \(a = 1606\) bằng \(13\).

Cách 2:

Thể tích nước có trong khay thứ hai là \(V = \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 10 \cdot 8 = 400\) (cm³).

Gọi \(S\) là điểm đồng quy của các cạnh bên của hình chóp cụt.

Dễ dàng chứng minh được \(SO = \frac{1}{2}SO'\).

\( \Rightarrow \) chiều cao của nước trong khay thứ hai là: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot SO' = \frac{1}{5}SO'\).

\( \Rightarrow \)khoảng cách từ mặt nước trong khay thứ hai đến \(S\) là: \(\left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{2}} \right) \cdot SO' = \frac{7}{{10}}SO'\).

Mà tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số đồng dạng

\( \Rightarrow V = 400 = {\left( {\frac{7}{{10}}} \right)^3} \cdot {V_{S.A'B'C'D'}} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \cdot {V_{S.A'B'C'D'}} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} \approx 1834,86\) (cm³).

\( \Rightarrow \)Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng \(\frac{7}{8}{V_{S.A'B'C'D'}} \approx 1606\).

Vậy tổng các chữ số của số \(a = 1606\) bằng \(13\).

Đáp án: 13.