Anh Bình có một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước \(4{\rm{m}}\,\, \times \,\,6{\rm{m}}\). Anh muốn trang trí cho căn phòng của mình bằng các sợi đèn led bằng cách cố định một đầu vào chính giữa trần nhà, đầu còn lại anh gắn vào các mặt xung quanh của căn phòng. Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây mà anh Bình có thể dùng để trang trí cho căn phòng của mình (đơn vị: mét).

a) Đúng. \(\Delta SAB\) đều, \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ SH\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow SH \perp \left(ABC\right)$

b) Đúng. Mặt khác, ta có \(SH \subset \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SHC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

c) Sai. \(\Delta SAB\) đều cạnh bằng \(2a\)\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\) (Pythagore).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{AC \cdot CB}}{2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 .a}}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^3}\).

d) Sai. Kẻ \(CM \bot AB\) tại M.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có: \(CM \cdot AB = AC \cdot CB \Rightarrow CM = \frac{{AC \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ CM\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow CM \perp \left(ABC\right) \Rightarrow d(C, (SAB) = CM\hspace{0.17em}= \frac{\sqrt{3}a}{2}$

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.