Bạn An muốn làm các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng \(3\,{\rm{cm}}\), cạnh của đáy nhỏ bằng \(1,5\,{\rm{cm}}\) và cao \(3\,{\rm{cm}}\) bằng cách dùng khay đá, mỗi khay sẽ tạo được \(6\) viên đá. Hỏi bạn An cần ít nhất bao nhiêu khay để chứa đồng thời \(2\) lít nước?

a) Đúng. \(\Delta SAB\) đều, \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ SH\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow SH \perp \left(ABC\right)$

b) Đúng. Mặt khác, ta có \(SH \subset \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SHC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

c) Sai. \(\Delta SAB\) đều cạnh bằng \(2a\)\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\) (Pythagore).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{AC \cdot CB}}{2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 .a}}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^3}\).

d) Sai. Kẻ \(CM \bot AB\) tại M.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có: \(CM \cdot AB = AC \cdot CB \Rightarrow CM = \frac{{AC \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ CM\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow CM \perp \left(ABC\right) \Rightarrow d(C, (SAB) = CM\hspace{0.17em}= \frac{\sqrt{3}a}{2}$

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.