Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\) (tham khảo hình vẽ).

a) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \[{V_{S.ABCD}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\]

b) \[BD \bot \left( {SAC} \right).\]

c) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha = 2.\)

d) Số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SD,C} \right]\) bằng \(90^\circ \).

a) Đúng. \(\Delta SAB\) đều, \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ SH\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow SH \perp \left(ABC\right)$

b) Đúng. Mặt khác, ta có \(SH \subset \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SHC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

c) Sai. \(\Delta SAB\) đều cạnh bằng \(2a\)\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\) (Pythagore).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{AC \cdot CB}}{2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 .a}}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^3}\).

d) Sai. Kẻ \(CM \bot AB\) tại M.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có: \(CM \cdot AB = AC \cdot CB \Rightarrow CM = \frac{{AC \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ CM\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow CM \perp \left(ABC\right) \Rightarrow d(C, (SAB) = CM\hspace{0.17em}= \frac{\sqrt{3}a}{2}$

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.