Có hai phác đồ điều trị \(A\) và \(B\) cho một loại bệnh. Phác đồ \(A\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(60\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(5\% .\) Phác đồ \(B\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(70\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(10\% .\) Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là \(50\% \)).

a) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là \(0,6.\)

b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là \(0,075.\)

c) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân đã được điều trị bằng phác đồ \(B\) lớn hơn \(0,65.\)

d) Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là \(0,6\).

Gọi \(A\) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(A\) thì \(\overline A \) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\). Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5.\)

Gọi \(X\) là biến cố bệnh nhân được chữa khỏi bệnh. Ta có \(P\left( {X|A} \right) = 0,6;\,\,P\left( {X|\overline A } \right) = 0,7.\)

Gọi \(Y\) là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có \(P\left( {Y|A} \right) = 0,05;\,\,P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,1.\)

a) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là:

\(P\left( {AX} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3.\)

b) Đúng. Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( Y \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {Y|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,05 + 0,5 \cdot 0,1 = 0,075.\)

c) Đúng. Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\) là:

\(P\left( {\overline A |Y} \right) = \frac{{P\left( {\overline A Y} \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,1}}{{0,075}} \approx 0,67 > 0,65.\)

d) Đúng. Ta có \(P\left( X \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {X|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,7 = 0,65.\)

Do biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Nên xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\[P\left( {X\overline Y } \right) = P\left( {X\overline Y |A} \right)P\left( A \right) + P\left( {X\overline Y |\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right) = \left[ {0,6 \cdot \left( {1 - 5\% } \right)} \right]0,5 + \left[ {0,7 \cdot \left( {1 - 10\% } \right)} \right]0,5 = 0,6\].