Hai bạn Hùng và Cường chơi trò quay bánh xe số. Bánh xe số có \(20\) nấc điểm là \(5,10,15,.....,100\) với các vạch chia đều nhau (giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau). Trong mỗi lượt chơi, mỗi người được quyền chọn quay \(1\) hoặc \(2\) lần và điểm số của người chơi được tính như sau:

(1) Nếu người chơi chọn quay một lần thì điểm của người chơi là điểm quay được.

(2) Nếu người chơi chọn quay \(2\) lần và tổng điểm quay được không lớn hơn \(100\) thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được.

(3) Nếu người chơi chọn quay \(2\) lần và tổng điểm quay được lớn hơn \(100\) thì điểm người chơi là tổng điểm quay được trừ đi \(100\).

Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. Hùng chơi trước và có điểm số là \(75\). Tính xác suất để Cường thắng cuộc ngay ở lượt chơi này (lấy kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi \(A\) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(A\) thì \(\overline A \) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\). Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5.\)

Gọi \(X\) là biến cố bệnh nhân được chữa khỏi bệnh. Ta có \(P\left( {X|A} \right) = 0,6;\,\,P\left( {X|\overline A } \right) = 0,7.\)

Gọi \(Y\) là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có \(P\left( {Y|A} \right) = 0,05;\,\,P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,1.\)

a) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là:

\(P\left( {AX} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3.\)

b) Đúng. Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( Y \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {Y|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,05 + 0,5 \cdot 0,1 = 0,075.\)

c) Đúng. Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\) là:

\(P\left( {\overline A |Y} \right) = \frac{{P\left( {\overline A Y} \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,1}}{{0,075}} \approx 0,67 > 0,65.\)

d) Đúng. Ta có \(P\left( X \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {X|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,7 = 0,65.\)

Do biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Nên xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\[P\left( {X\overline Y } \right) = P\left( {X\overline Y |A} \right)P\left( A \right) + P\left( {X\overline Y |\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right) = \left[ {0,6 \cdot \left( {1 - 5\% } \right)} \right]0,5 + \left[ {0,7 \cdot \left( {1 - 10\% } \right)} \right]0,5 = 0,6\].

Gọi \(X\) là biến cố: “ Sản phẩm chọn ra là phế phẩm”; \[I\]là biến cố: “Sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\)”; \[II\] là biến cố: “Sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(B\)”.

Ta có \(P\left( I \right) = 0,6;P\left( {II} \right) = 0,4;\)\(P\left( {X|I} \right) = 0,01;P\left( {X|II} \right) = 0,02\).

a) Sai. Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\) thì xác suất để nó không là phế phẩm là

 \(P\left( {\overline X |I} \right) = 1 - P\left( {X|I} \right) = 1 - 0,01 = 0,99\).

b) Đúng. Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng \(A\) là

\(P\left( {XI} \right) = P\left( {X|I} \right) \cdot P\left( I \right) = 0,01 \cdot 0,6 = 0,006\).

c) Đúng. Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là

\(P\left( X \right) = P\left( I \right) \cdot P\left( {X|I} \right) + P\left( {II} \right) \cdot P\left( {X|II} \right)\)\( = 0,6 \cdot 0,01 + 0,4 \cdot 0,02 = 0,014\).

d) Sai. Nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng \(A\) là

\(P\left( {I|X} \right) = \frac{{P\left( {IX} \right)}}{{P\left( X \right)}} = \frac{{0,006}}{{0,014}} = \frac{3}{7}\) .