Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng giống nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 70% số viên bi màu xanh được đánh số và 60% số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gọi \(A\) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(A\) thì \(\overline A \) là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\). Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5.\)

Gọi \(X\) là biến cố bệnh nhân được chữa khỏi bệnh. Ta có \(P\left( {X|A} \right) = 0,6;\,\,P\left( {X|\overline A } \right) = 0,7.\)

Gọi \(Y\) là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có \(P\left( {Y|A} \right) = 0,05;\,\,P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,1.\)

a) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là:

\(P\left( {AX} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3.\)

b) Đúng. Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( Y \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {Y|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,05 + 0,5 \cdot 0,1 = 0,075.\)

c) Đúng. Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\) là:

\(P\left( {\overline A |Y} \right) = \frac{{P\left( {\overline A Y} \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {Y|\overline A } \right)}}{{P\left( Y \right)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,1}}{{0,075}} \approx 0,67 > 0,65.\)

d) Đúng. Ta có \(P\left( X \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {X|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {X|\overline A } \right) = 0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,7 = 0,65.\)

Do biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Nên xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\[P\left( {X\overline Y } \right) = P\left( {X\overline Y |A} \right)P\left( A \right) + P\left( {X\overline Y |\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right) = \left[ {0,6 \cdot \left( {1 - 5\% } \right)} \right]0,5 + \left[ {0,7 \cdot \left( {1 - 10\% } \right)} \right]0,5 = 0,6\].

Đồ thị trên chỉ có hai đỉnh bậc lẻ là C và E nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ C đến E (đường đi này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).

Một đường đi Euler từ C đến E là CABDEBCE và tổng độ dài của nó là

\(2 + 1 + 3 + 6 + 5 + 4 + 10 = 31\,\,{\rm{(km)}}\).

Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ E đến C.

Đường đi ngắn nhất từ \(E\) đến \(C\) là \(EBAC\) và có độ dài là \(5 + 1 + 2 = 8\,{\rm{(km)}}\).

Vậy tổng quãng đường đưa thư có thể đi ngắn nhất là \(31 + 8 = 39\,({\rm{km}})\).

Đáp án: 39.