Xác định hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\).

Đáp án: −2.

Để hai đồ thị \[y = x + {m^2} + 1\] và \[y = 5 + \left( {m-1} \right)x\] cắt nhau thì \(m - 1 \ne 1,\) tức là \(m \ne 2.\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì giao điểm này có hoành độ bằng 0, tức \({x_A} = 0.\)

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số \[y = x + {m^2} + 1\] ta được: \[{y_A} = 0 + {m^2} + 1 = {m^2} + 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số \[y = 5 + \left( {m--1} \right)x\] ta được: \[{y_A} = 5 + \left( {m--1} \right) \cdot 0 = 5.\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \({m^2} + 1 = 5.\)

Do đó \({m^2} = 4\) nên \(m = 2\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 2.\)

Đáp án: −3.

Xét hàm số \[f\left( x \right) = - \left| {2 - \frac{1}{2}x} \right|,\] thay \(x = - 2\) vào hàm số ta được:

\[f\left( { - 2} \right) = - \left| {2 - \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right)} \right| = - \left| {2 + 1} \right| = - 3.\]