Đơn thức \(\left( { - \frac{1}{5}{x^2}{y^3}} \right)\left( { - 5{x^3}y} \right)ax\) \((a\) là hằng số) có hệ số và bậc lần lượt là

      

Ta có: \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\)

\(\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\) \(\left( * \right)\)

Với mọi \(x,y\) ta có: \({\left( {2x + 2y} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + 2y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\\,{\left( {y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 0\\x - 1 = 0\\\,y + 1 = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x = 1\\\,y =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(M = {\left( {x + y} \right)^{2023}} + {\left( {x - 2} \right)^{2024}} + {\left( {y + 1} \right)^{2025}}\)

\( = {0^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {\left( { - 1 + 1} \right)^{2025}} = 1.\)

Vậy \(M = 1\).

a) Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành

Suy ra \[AB{\rm{ // }}MN,{\rm{ }}BC{\rm{ // }}MN\] nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng \[AB\] và \[BC\] trùng nhau.

Do đó ba điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng.

Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành nên \[AB = MN,{\rm{ }}BC = MN\]. Suy ra \(AB = BC\).

Mà \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng nên \[B\] là trung điểm của \[AC\].

b) Từ câu a, ta suy ra \(MN{\rm{//}}\,AC\) nên \[MNCA\] là hình thang.

Do \[MNCB\] là hình bình hành nên \[NC{\rm{ // }}MB\], từ đó \[\widehat {NCB} = \widehat {MBA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNCA\] là hình thang cân là \[\widehat {MAB} = \widehat {NCB}\] tức là \[\widehat {MAB} = \widehat {MBA}.\]

Vậy điều kiện để \[MNCA\] là hình thang cân là tam giác \[MAB\] cân tại \[M\].

c) 

Chứng minh tương tự câu a, ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AD\) và bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) thẳng hàng. Do đó \[MNDA\] là hình thang.

Do \[MNDC\] là hình bình hành nên \[ND{\rm{ // }}MC\], từ đó \[\widehat {NDC} = \widehat {MCA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {NDC} = \widehat {MAC}\].

Khi đó điều kiện để \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {MCA} = \widehat {MAC}\] tức là tam giác \[MAC\] cân tại \[M\].

Do \[MB\] là đường trung tuyến của tam giác \[MAC\] nên điều kiện để tam giác \[MAC\] cân tại \[M\] là \[MB\] vuông góc với \[AC\].

Vậy điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân đó là tam giác \[MAB\] vuông tại \[B\].