Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,D\) sao cho \(AC = 3AE\) và \(AD = \frac{1}{3}AB\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(EC\). Biết rằng .

Đáp án: 9

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \({6^2} + {6^2} = B{C^2}\) nên \(B{C^2} = 72\), suy ra \(BC = \sqrt {72} \).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(BCD\), ta có:

\(B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\) hay \({\left( {\sqrt {72} } \right)^2} + {3^2} = {x^2}\) nên \({x^2} = 81\), suy ra \(x = 9\).

Vậy \(x = 9\).

Đáp án: 52

Từ \(C\) kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\).

Xét tứ giác \(ADCH\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) nên \(ADCH\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AD = CH = 8{\rm{ cm}}\); \(DC = AH = 14{\rm{ cm}}\).

Lại có, \(AH + HB = AB\), suy ra \(BH = AB - AH = 20 - 14 = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(\Delta HCB\), có:

\(H{B^2} + H{C^2} = B{C^2}\)

\({8^2} + {6^2} = B{C^2}\)

\(100 = B{C^2}\) suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

Vậy chu vi tứ giác \(ABCD\) là \(8 + 14 + 10 + 20 = 52{\rm{ cm}}\).