Trên sườn đồi, với độ dốc \[12\% \] (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tan góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây \[30\]m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc \[45^\circ \] so với phương ngang. Hỏi chiều cao của cây là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét)?

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \[ABC\], ta có:

\[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ \].

Áp dụng định lý sin, ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11,4\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[B\] là \[11,4\]m.

b) Diện tích của khu vườn: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\].

Xét tam giác \[ABC\] có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11,4.22.\sin 45^\circ \approx 88,67\]

Xét tam giác \[ADC\]có: \[p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24\]

\[\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58,79\end{array}\]

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88,67 + 58,79 \approx 147,5\].

Vậy diện tích khu vườn đó là \(147,5\,\,{m^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.