Người ta xếp 6 tam giác đều có chu vi 9 cm thành một hình lục giác đều.

Chu vi của lục giác đều mới là

a) Dễ thấy trong hình bình hành \[AMCN\] chiều cao tương ứng của cạnh \[AN\] là \[MN\] và \[MN = AB = 10\] m.

Do đó diện tích hình bình hành \[AMCN\] là: \[6\,\,.{\rm{ }}10 = 60\] (m²)

Diện tích hình chữ nhật \[ABCD\] là: \[10\,\,.{\rm{ }}12 = 120\] (m²)

Phần diện tích còn lại trồng cỏ là: \[120 - 60 = 60\] (m²)

b) Số tiền công cần để chi trả trồng hoa là: 

\[50{\rm{ }}000\,\,.{\rm{ }}60 = 3{\rm{ }}000{\rm{ }}000\] (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng cỏ là: 

\[40{\rm{ }}000\,\,.{\rm{ }}60 = 2{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là:

\[3{\rm{ }}000{\rm{ }}000 + 2{\rm{ }}400{\rm{ }}000 = 5{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] (đồng).

Vậy số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là \[5{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] đồng.

Ta có \(A = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{101}}\)

\( = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right) + ... + \left( {{3^{99}} + {3^{100}} + {3^{101}}} \right)\)

\( = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^{99}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)

\( = 13 + {13.3^3} + ... + {13.3^{99}}\)\( = 13.\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\).

Vì \(13\,\, \vdots \,\,13\) nên \(13\,.\,\,\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,13\).

Vậy biểu thức \[A\] chia hết cho 13.