Cô giáo muốn chia \(70\) quyển vở, \(105\) bút bi thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi cô có thể chia nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng. Hỏi mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút bi?

Ta có \(A = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{101}}\)

\( = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right) + ... + \left( {{3^{99}} + {3^{100}} + {3^{101}}} \right)\)

\( = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^{99}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)

\( = 13 + {13.3^3} + ... + {13.3^{99}}\)\( = 13.\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\).

Vì \(13\,\, \vdots \,\,13\) nên \(13\,.\,\,\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,13\).

Vậy biểu thức \[A\] chia hết cho 13.

a) Dễ thấy trong hình bình hành \[AMCN\] chiều cao tương ứng của cạnh \[AN\] là \[MN\] và \[MN = AB = 10\] m.

Do đó diện tích hình bình hành \[AMCN\] là: \[6\,\,.{\rm{ }}10 = 60\] (m²)

Diện tích hình chữ nhật \[ABCD\] là: \[10\,\,.{\rm{ }}12 = 120\] (m²)

Phần diện tích còn lại trồng cỏ là: \[120 - 60 = 60\] (m²)

b) Số tiền công cần để chi trả trồng hoa là: 

\[50{\rm{ }}000\,\,.{\rm{ }}60 = 3{\rm{ }}000{\rm{ }}000\] (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng cỏ là: 

\[40{\rm{ }}000\,\,.{\rm{ }}60 = 2{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là:

\[3{\rm{ }}000{\rm{ }}000 + 2{\rm{ }}400{\rm{ }}000 = 5{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] (đồng).

Vậy số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là \[5{\rm{ }}400{\rm{ }}000\] đồng.