Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 15\;{\rm{cm}},\;CB = 20\;{\rm{cm}}.\) Gọi \(E,\;F,\;G,\;H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;BC,\;CD,\;DA.\) Tính diện tích tứ giác \(EFGH.\) (đơn vị đo là \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)).

Đáp án: 150

\(\Delta ADC\) có \(H,\;G\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;DC\) nên \(HG\) là đường trung bình của \(\Delta ADC.\)

Do đó, \(HG = \frac{1}{2}AC.\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(EF = \frac{1}{2}AC.\)

\(FG\) là đường trung bình của \(\Delta DBC\) nên \(FG = \frac{1}{2}BD.\)

\(EH\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên \(EH = \frac{1}{2}BD.\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)

Do đó, \(EF = FG = GH = HE.\) Do đó, tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC,\;AD\;{\rm{//}}\;CB.\)

Vì \(H\) là trung điểm của \(AD\) nên \(AH = \frac{1}{2}AD.\) Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BF = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó, \(AH = BF.\)

Tứ giác \(AHFB\) có: \(AH = BF,\;AH\;{\rm{//}}\;BF\) nên tứ giác \(AHFB\) là hình bình hành.

Do đó, \(HF = AB = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Chứng minh tương tự ta có tứ giác \(EGCB\) là hình bình hành. Do đó, \(EG = CB = 20\;{\rm{cm}}.\)

Diện tích hình thoi \(EFGH\) là: \(\frac{1}{2}FH \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích hình thoi \(EFGH\) là \(150\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)