(1 điểm) Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.                                  

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{5}{9}\left| {\overrightarrow b } \right|\), mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \[\overrightarrow a = - \frac{5}{9}\overrightarrow b \].

Vậy \(m = - \frac{5}{9}\).

a) Ta có: \[B{C^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \].

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\].

Tương tự ta có: \[\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2};\;\;\;\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2}\].

Suy ra: \[\;\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} \]\[ = - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \] với \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \]. Vậy \[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra: \[A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{9}\left( {{c^2} + {b^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}} \right) = \frac{1}{9}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right)\].

\[ \Rightarrow AG = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \].

Ta có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right)\]\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\).

Lại có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\].

Do đó, \[\cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{\frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \cdot a}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{a\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}\].