Tìm giá trị của \(m\) sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \), biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 10,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 18\). 

a) Ta có: \[B{C^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \].

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\].

Tương tự ta có: \[\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2};\;\;\;\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2}\].

Suy ra: \[\;\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} \]\[ = - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \] với \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \]. Vậy \[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra: \[A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{9}\left( {{c^2} + {b^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}} \right) = \frac{1}{9}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right)\].

\[ \Rightarrow AG = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \].

Ta có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right)\]\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\).

Lại có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\].

Do đó, \[\cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{\frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \cdot a}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{a\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}\].

Đáp án đúng là: A

Vì \[AM = \frac{1}{4}AB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \), do đó đáp án B đúng.

Ta có: \[MA = \frac{1}{3}MB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \) hay \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \), do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.

\[BM = \frac{3}{4}BA\] và hai vectơ \(\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \), do đó đáp án C đúng.