(1 điểm) Để đo đường kính của một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) như hình vẽ sao cho \(AB = 7,5\,\,{\rm{m}};\,\,AC = 10,5\,\,{\rm{m}};\,\widehat {BAC} = 135^\circ \). Hãy tính đường kính của hồ nước đó.

Đáp án đúng là: B

Vì ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên nên ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \,\,\overrightarrow {{F_2}} + \,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}} \).

Mà \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Vậy \(\overrightarrow {{F_4}} = - \overrightarrow {{F_1}} \) hay \(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \).

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số tấm thiệp loại nhỏ và loại lớn cần vẽ. Ta có \(x \ge 0,\,y \ge 0\).

Số giờ để vẽ \(x\) tấm thiệp loại nhỏ và \(y\) tấm thiệp loại lớn là \(2x + 3y\).

Vì học sinh chỉ có 30 giờ để vẽ nên \(2x + 3y \le 30\).

Số tấm thiệp phải vẽ ít nhất là 12 tấm nên \(x + y \ge 12\).

Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \ge 12\\2x + 3y \le 30\end{array} \right.\).

Số tiền thu được khi bán \(x\) tấm thiệp loại nhỏ và \(y\) tấm thiệp loại lớn là \(F\left( {x;\,y} \right) = 10x + 20y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) khi \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] ta được như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) với các đỉnh: \(A\left( {6;\,\,6} \right)\), \(B\left( {15;\,\,0} \right)\), \(C\left( {12;\,\,0} \right)\).

Tính giá trị của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại \(A\left( {6;\,\,6} \right)\): \(F\left( {6;\,\,6} \right) = 10 \cdot 6 + 20 \cdot 6 = 180\);

Tại \(B\left( {15;\,\,0} \right)\): \(F\left( {15;\,\,0} \right) = 10 \cdot 15 + 20 \cdot 0 = 150\);

Tại \(C\left( {12;\,\,0} \right)\): \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 10 \cdot 12 + 20 \cdot 0 = 120\).

\(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại \(A\left( {6;\,\,6} \right)\).

Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.